ベータ関数

ベータ関数の基礎について説明します.

定義
収束の証明
ベータ関数の性質
例題

定義

ベータ関数は以下のように定義される2変数関数です

定義（ベータ関数）

$$B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx.$$ただし$p,q>0$.

ベータ関数はガンマ関数と深い関係のある特殊関数です.（ガンマ関数についてはこちらをご覧ください.）詳しくは性質 (6) を参照.

$p,q<1$ のとき, 積分区間の端点 $x=0$ と $x=1$ において被積分関数 $x^{p-1}(1-x)^{q-1}$ が発散するので, この積分は広義積分になります. 収束については次のように、優関数を用いた判定法により示すことができます.

収束の証明

$0<a<1$とする.　ベータ関数を \[B(p,q)=\int_0^a x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx+\int_a^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\] のように2つの積分に分けて, それぞれの収束を示す.

(i) $\displaystyle\int_0^a x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$の収束について.
$p\geqq 1$のときは広義積分でないので, 積分は自明に存在する. $0<p<1$のときを考える. $a<1$であるから, 区間$[0,a]$において$(1-x)^{q-1}$は発散しない. よって, その最大値を$M$とする, つまり \[M=\max \{(1-x)^{q-1} \mid 0\leqq x \leqq a\}\] とすると, $\displaystyle| x^{p-1}(1-x)^{q-1} |\leqq M x^{p-1}$であり, \[\begin{aligned} &\int_0^a M x^{p-1} dx =M \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\varepsilon}^a x^{p-1} dx =M \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left[ \frac{1}{p}x^{p} \right]_{\varepsilon}^a\\ & =M \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \left( \frac{1}{p}a^{p} -\frac{1}{p}\varepsilon^{p} \right) =\frac{Ma^{p}}{p} \quad (\text{収束}) . \end{aligned}\] よって優関数を用いた収束判定法により, $\displaystyle\int_0^a x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$も収束する.

(ii) $\displaystyle\int_a^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$の収束について.
(i)と同様に示すことができる. まず$q\geqq 1$のときは広義積分でないので, 積分は自明に存在する. $0<q<1$のときを考える. \[m=\max \{x^{p-1} \mid a\leqq x \leqq 1\}\] とすると, $\displaystyle| x^{p-1}(1-x)^{q-1} |\leqq m (1-x)^{q-1}$であり, \[\begin{aligned} &\int_0^a m (1-x)^{q-1} dx =m \lim_{K \rightarrow 1} \int_{a}^{K} (1-x)^{q-1} dx =m \lim_{K \rightarrow 1} \left[ -\frac{1}{q} (1-x)^{q} \right]_{a}^{K}\\ & =m \lim_{K\rightarrow 1} \left( -\frac{1}{q} (1-K)^{q} +\frac{1}{q} (1-a)^{q} \right) =\frac{m}{q} (1-a)^{q} \quad (\text{収束}) . \end{aligned}\] よって $\displaystyle\int_a^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$も収束する.

(i) (ii)より, ベータ関数$B(p,q)$は収束する.

ベータ関数の性質

定理

対称性
（1）$B(p,q)=B(q,p)$.

関数等式
（2）$B(p,q+1)=\dfrac{q}{p} B(p+1,q)$.
（3）$B(p, q)=B(p+1, q)+B(p, q+1) $.
（4）$B(p, q+1)=\frac{q}{p+q} B(p, q)$.

三角関数との関係
（5）$\displaystyle B(p,q)=2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1}\theta \,d\theta $.

ガンマ関数との関係
（6）$\displaystyle B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\quad (p,q>0)$.

(6)の $\Gamma(p)$ はガンマ関数です. （ガンマ関数についてはこちら）

以下、証明です.

（1）$B(p,q)=B(q,p)$.

定義式 $B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$ において $x=1-t$ と置換積分すると,
\begin{align}
&B(p,q)=\int_1^0 (1-t)^{p-1} t^{q-1} \cdot (-1) dt\\
&=\int_0^1 t^{q-1}(1-t)^{p-1} dt=B(p,q).
\end{align}

（2）$B(p,q+1)=\dfrac{q}{p} B(p+1,q)$.

定義式を部分積分する.
\begin{align}
&B(p,q+1)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q}dx\\
&=\left[ \frac{1}{p}x^{p}(1-x)^{q} \right]_0^1+\int_0^1 \frac{q}{p}x^{p}(1-x)^{q-1}dx\\
&=\frac{q}{p}B(p+1,q).
\end{align}

（3）$B(p, q)=B(p+1, q)+B(p, q+1) $.

$B(p+1, q)$ と $B(p, q+1)$ の被積分関数をそのまま足すと,
\begin{align}
&x^{p}(1-x)^{q-1}+x^{p-1}(1-x)^{q}=x^{p-1}(1-x)^{q-1}\left\{ x+(1-x) \right\}\\
&=x^{p-1}(1-x)^{q-1}
\end{align}
となって $B(p, q)$ の被積分関数に一致する.

（4）$ B(p, q+1)=\frac{q}{p+q} B(p, q)$.

(2)(3)より得られる. $(2)-\frac{q}{p}\times(3)$より
\begin{align}
&B(p,q+1)-\frac{q}{p}B(p,q)=-\frac{q}{p}B(p,q+1)\\
&B(p, q+1)=\frac{q}{p+q} B(p, q).
\end{align}

（5）$\displaystyle B(p,q)=2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1}\theta \,d\theta $.

定義式 $B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$ において $x=\sin^2 \theta$ と置換積分すると,
\begin{align}
&B(p,q)=\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-2} \theta \cos^{2q-2} \theta \cdot 2\sin\theta \cos \theta \, d\theta\\
&=2\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1} \theta \, d\theta
\end{align}

（6）$\displaystyle B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\quad (p,q>0)$.

ガンマ関数の定義式 $\Gamma(s)=\int_0^{\infty} e^{-x}x^{s-1} dx$ において, 変数変換 $x=u^2$ を施す
$$
\Gamma(q)=2\int_0^{\infty} e^{-u^2}u^{2q-1}du.
$$
ではこの形を用いて２つのガンマ関数の積を考えると
\begin{align}
\Gamma(p)\Gamma(q)&=2\int_0^{\infty} e^{-v^2}v^{2p-1}dv \times 2\int_0^{\infty} e^{-u^2}u^{2q-1}du\\ &=4\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} e^{-(u^2+v^2)}v^{2p-1}u^{2q-1}dudv. \\
&\cdots (\ast1)
\end{align}
この積分は $uv$-平面上の第一象限に関する重積分とみなせる. ここで $u=r\cos \theta, v=r\sin \theta$ と極座標変換すると $r\theta$-平面上の領域を $D=\{(r,\theta)\mid 0\leq r,\; 0\leq \theta \leq 2 \pi \}$ とすれば,
\begin{align}
&\Gamma(p)\Gamma(q)\\
&= 4\int\int_D e^{-r^2} r^{2p+2q-1}\sin^{2p-1}\theta \cos^{2q-1}\theta \, drd\theta \\
&=2 \int_0^{\infty} e^{-r^2} r^{2(p+q)-1} dr \times 2 \int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1}\theta \,d\theta.\\
& \cdots (\ast2)
\end{align}
このとき動径 $r$ に関する積分は再びガンマ関数で表せる：
$$2 \int_0^{\infty} e^{-r^2} r^{2(p+q)-1} dr=\Gamma(p+q).$$
残った偏角 $\theta$ に関する積分は性質 (5) より
\begin{align}
&2 \int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1}\theta \,d\theta \\
&=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx=B(p,q)\end{align}
となってベータ関数で書ける. したがって
$$\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)B(p,q). \quad \cdots (\ast3)$$
となり, 性質 (6) が成り立つ.

($\ast3$)のようにガンマ関数の積を考えるとベータ関数が現れます.
証明の流れをまとめると, ガンマ関数の積を考え極座標変換すると, 動径方向の積分は再びガンマ関数になり, 残りの偏角に関する積分がベータ関数になるわけです.

($\ast 1$)($\ast 2$) では広義重積分における変数分離形の公式を用いました.
（広義重積分における変数分離形の公式についての詳細はこちら：広義重積分）

この公式を用いるには, 1変数に分離したときの広義積分 $\int_0^{\infty} e^{-v^2}v^{2p-1}dv$ や $\int_0^{\infty} e^{-r^2} r^{2(p+q)-1} dr,\; \int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1} \theta \cos^{2q-1}\theta$ の収束が前提条件となりますが, これらはガンマ関数やベータ関数と一致するため, 収束は既に証明されています.
書籍によっては, このあたりの問題を避けるため（変数分離形の公式を証明していないため）, 広義重積分を一旦有限範囲に区切って, 極限をとる際に, はさみうちの原理を用いる方法で証明していることもあります. （例えばこちら：理数アラカルトさんのページ）

例題

ベータ関数に関するよくある例題です. 性質 (6) のようにベータ関数はガンマ関数で表すことができるので, ガンマ関数に関する性質もよく用います. ガンマ関数についての公式はこちらの記事を参考にしてください.

$B\left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{1}{2}\right)$

例1
\begin{align}B\left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{1}{2}\right)&=\frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(3)}\\
&=\frac{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2} \, \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{2!}\\
&=\frac{3 \pi }{8}.\end{align}

$ \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^3 \theta \, d\theta $

以下の例題のように, ベータ関数は様々な積分に現れます.

例題2. $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^3 \theta \, d\theta $ の値を求めよ.

解答.
\begin{align} & \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^3 \theta \, d\theta \\
&=\frac{1}{2} B \left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{4}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \dfrac{ \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) \Gamma(2)}{\Gamma\left(\frac{9}{2} \right)}\\
&=\frac{1}{2} \cdot \dfrac{ \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \cdot 1} {\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) }\\
&=\frac{2}{35} \end{align}

$ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx$

例題3. $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx$の値を求めよ.

解答. $x^4=t$ とおくと,
\begin{align}
&\int_0^1 \dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx\\
&=\frac{1}{4}\int_0^1 t^{-\frac{1}{2}} (1-t)^{-\frac{1}{2}}dt\\
&=\frac{1}{4} B\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2} \right)\\
&=\frac{1}{4} \dfrac{\Gamma(\tfrac{1}{2}) \Gamma(\tfrac{1}{2}) }{\Gamma(1)}\\
&=\frac{\pi}{4}
\end{align}

$B(p,q)=\int_0^{\infty} \frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}dt$

ベータ関数の積分区間を有界でない形に書き換えると, 次のようになります.

例題4. 次の等式を示せ$$B(p,q)=\int_0^{\infty} \frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}dt.$$

解答
ベータ関数の定義式で $x=\dfrac{t}{1+t}$ （$t=\dfrac{x}{1-x}$）とおくと, $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{(1+t)^2}$より\begin{align}B(p,q)
&=\int_0^{\infty} \left( \frac{t}{1+t}\right)^{p-1}\left(\frac{1}{1+t}\right)^{q-1} \frac{1}{(1+t)^2}dt\\
&=\int_0^{\infty} \frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}} dt.\end{align}

$\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^3}$

ガンマ関数の相補公式を用いると, 様々な積分を実行することができます.

ガンマ関数の相補公式
$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin \pi x}$$

例題5. 次の積分を計算せよ. $$\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^3}$$

解答.
$x^3=t$ とおくと $x=t^{1/3}$, $\dfrac{dx}{dt}=\frac{1}{3}t^{-2/3}$ より,例題4の $p=\frac{1}{3}$, $q=\frac{2}{3}$ の場合とガンマ関数の相補公式を用いると
\begin{align}
\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^3}
&=\frac{1}{3}\int_0^{\infty}\frac{t^{-2/3}}{1+t}dt\\
&=\frac{1}{3}B\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\\
&=\frac{1}{3}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\Gamma\left(\frac{2}{3}\right) }{\Gamma(1)}\\
&=\frac{1}{3}\frac{\pi}{\sin \frac{\pi}{3} }\\
&=\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}.\end{align}