ガンマ関数

例
\begin{align}
\Gamma\left(\dfrac{5}{2}\right)&=\dfrac{3}{2}\cdot \Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right)\\
&=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\\
&=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}
\end{align}

証明
被積分関数を\(f(x)=e^{-x} x^{s-1}\) とおきます. まず\(m\)を\(s\leq m\)となる正整数とすると\begin{align}
\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{e^{-x/2}}
&=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x/2}} \\
&\leq \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{m}}{e^{x/2}}
\end{align}となります. 最後の等式にロピタルの定理を\(m\)回用いると, \begin{align}
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{m}}{e^{x/2}}
&=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2mx^{m-1}}{e^{x/2}}\\
&=\cdots \\
&=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2^m\cdot m!}{e^{x/2}}\\
&=0.
\end{align}従って, 十分大きい定数 \(c\) に対して, \(x\geq c\) ならば $$f(x)\leq e^{-x/2}.
$$ よって \begin{align}
\int_c^{\infty} f(x)dx &\leq \int_0^{\infty} e^{-x/2}dx \\
&=-2 \lim_{\epsilon\rightarrow \infty} (e^{-\epsilon /2} -e^{-c /2})\\
&=2e^{-c /2}
\end{align} となって\(\int_c^{\infty} f(x)dx\)は収束します. これで\(\infty\)の近くでの収束を示ました. 　\(\Gamma(s) =\int_0^{c} f(x)dx+\int_c^{\infty} f(x)dx\)と表せるので, 次に\(0\)の近くでの積分 \(\int_0^{c} f(x)dx\) の収束を示します. \(x\geq 0\)のとき, \(f(x)\leq x^{s-1}\)となるので, \begin{align}\int_0^{c} f(x)dx  &\leq \int_0^{c} x^{s-1} dx\\
&= \frac{1}{s} \lim_{\epsilon\rightarrow 0} (c^s-\epsilon^{s})\\
&=\frac{c^s}{s}. \end{align} 従って\(\int_0^{c} f(x)dx \) も収束します. 以上よりガンマ関数 \(\Gamma(s)\) は\(s\geq 0\)で収束します.