広義重積分

この記事では広義の重積分について解説します.

広義重積分の定義

1変数の広義積分は, \(\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty} \int_a^k f(x) dx\) や \(\displaystyle \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\varepsilon}^{a} f(x) dx\) のように, 積分区間の極限をとることで計算できました.

1変数の場合には極限の取り方はほぼ1通りですが, 2変数になると積分範囲の制限の仕方や極限の取り方に様々なものが考えられ, きちんと定義するには収束に関して詳細な議論が必要になります.
そのために, まず次の用語を用意します.

この \(D_n\) が有界閉集合の列であるということを強調してコンパクト近似列（コンパクトとは集合が有界かつ閉集合（\(\mathbb{R}^2\) の部分集合の場合,）であることを指す. ）ということもあります. また可測であるということを強調して可測な近似列という言い方をしたりもします.

※ 平面 \(\mathbb{R}^2\) の部分集合について近似列を定義したが, 一般に \(n\) 次元空間 \(\mathbb{R}^n\) においても同様に定める.

以下において, 集合 \(A\subset \mathbb{R}^2 \) 上での関数 \(f: A \rightarrow \mathbb{R}\) の広義積分を定義します（ \(A\) も \(f(x,y)\) も有界とは限らない）. このとき, \(A\) と \(f(x,y)\) に次の3つの前提条件を満たすことを仮定しておきます.

次の定理により, 実際には1つの近似列をとって, 収束を確かめればよいことが分かります. 証明は省略します.

証明.
(1) \(\Rightarrow \) (2) については自明.
(2) \(\Rightarrow \) (1)について.
定義から \(f(x,y)\) が非負関数の場合のみを示せばよい.
\(E_n\) をもう一つの近似列とし, $$
I_n=\int\int_{D_n}f(x,y)dxdy, \quad J_n=\int\int_{E_n}f(x,y)dxdy
$$とおく. \(f(x,y)\) が非負のとき, 近似列の性質 (1) より \(I_n\), \(J_n\) はそれぞれ単調増加, つまり \(I_n \leq I_{n+1}, \; J_n\leq J_{n+1}\) である. また近似列の性質(2) より, 任意の \(E_n\) に対して, \(E_n \subset D_m\) となる番号 \(m\) が存在する. よって$$
J_n \leq I_m \leq \lim_{m\rightarrow \infty} I_m
$$だから, \(J_n\) は上に有界な単調増加数列である. したがって \(J_n\) は収束し, $$
\lim_{n\rightarrow \infty} J_n \leq \lim_{n\rightarrow \infty} I_n
$$となる. 同様にして\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} I_n \leq \lim_{n\rightarrow \infty} J_n\) も成り立つから, \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} J_n = \lim_{n\rightarrow \infty} I_n\) となる.
したがって, どんな近似列についてもその上での積分が同じ値に収束するので, 広義重積分可能である. （証明終）

計算例

1変数のときと同様, 広義重積分には次の2つの場合があります.

・積分範囲の境界で被積分関数が発散する場合
・積分範囲が有界でない場合

考え方. この積分は \(A\) の境界部分（ \( x^2+y^2=1\)となる部分） で被積分関数が発散するので広義積分です. 例えば$$D_n=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq (1-\tfrac{1}{n})^2\}
$$とおいて, 発散のある部分から少し離れたところで積分し, この \(D_n\) 上で積分した後に, 極限 \(n\rightarrow \infty\) をとります.
この \(D_n\)が上の定義における \(A\) の近似列になっています.

答. \(D_n=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq (1-\tfrac{1}{n})^2\}\) とする.
極座標変換を用いれば\begin{align}
&\int\int_{A} \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dxdy\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty }\int\int_{D_n} \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dxdy\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty }\int\int_{\substack{0\leq r \leq 1-\frac{1}{n} \\ 0\leq \theta \leq 2\pi}} \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}drd\theta\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty } 2\pi \left[-\sqrt{1-r^2}\right]_0^{1-\frac{1}{n}}\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty } 2\pi \left(1-\sqrt{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}\right)\\
&=2\pi.
\end{align}

補足. 近似列 \(D_n\) の選び方は他にも色々ありますが, 上の定理により1つの近似列について収束を確かめれば十分であることが分かります.

考え方. \(A\) が有界でないので, 有界な範囲に区切ってから積分し, 後で極限をとります.

答. \(D_n = \{(x,y)\mid 0\leq x\leq n,\; 0\leq y\leq n\}\)とすると, \begin{align}
&\int\int_A \frac{1}{(x+y+1)^3} dxdy\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty} \int\int_{D_n} \frac{1}{(x+y+1)^3} dxdy\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^n dx \int_0^n \frac{1}{(x+y+1)^3} dy\\
&=\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^n dx \left[ -\frac{1}{2} (x+y+1)^{-2} \right]_{y=0}^{y=n}\\
&=-\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^n dx \left\{ (x+n+1)^{-2}- (x+1)^{-2}\right\}\\
&=-\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ -(x+n+1)^{-1}+(x+1)^{-1} \right]_0^n\\
&=-\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow \infty} \left(-(2n+1)^{-1}+(n+1)^{-1} +(n+1)^{-1}-1 \right)\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}

積分領域が有界でない場合の例として, 他にも$$\int\int_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2-y^2}dxdy=\pi.$$という等式をあげておきます. （極座標変換を用いて示せます. ）この等式はガウス積分と呼ばれる積分を証明する際に用いられるもので, 証明はガウス積分に関する記事を参照してください. ガウス積分は１変数関数の広義積分ですが, 広義の重積分を用いて証明する方法が有名なおもしろい積分になっています.

変数分離形の公式

広義積分でない通常の重積分では変数分離形の公式\begin{align}&\int\int_D f(x)g(y)dxdy=\left(\int_a^{b}f(x)dx \right)\left(\int_c^{d}g(y)dy \right)\\
&D=\{(x,y)|a\leq x \leq b,\; c\leq y \leq d\}\end{align}が成り立ちました. 同様の公式が広義の重積分でも成り立ちます.

簡単のため,\(x,y\)の 積分範囲をそれぞれ\(a\leq x<\infty\), \(b\leq x<\infty\)としましたが, 積分範囲が\(a<x<c\), \(b<y<d\)である広義積分や, \(-\infty<x<\infty\), \(-\infty <y<\infty\)のような場合でも同様の公式が成立します.

この定理を使うときは仮定部分の広義積分\( \int_a^{\infty}|f(x)|dx \), \( \int_b^{\infty}|g(x)|dx \)が収束していないと使ってはいけないことに注意してください. よく, この収束を示さずに公式を用いてる, あまり厳密な解説をなしていない本や記事があります. （例えばガウス積分の証明. ）