過剰和・不足和とダルブーの定理【リーマン積分 発展編】

証明.
\(L(f;\Delta’) \leq U(f;\Delta’)\) は過剰和と不足和の定義から明らかである.
\(U(f;\Delta’) \leq U(f;\Delta)\) を示す. \(\Delta\) のある小区間 \([x_{i-1},x_i]\) において, \(\Delta’\) の方が, \(\ell\) 個だけ多くの分点をもつとする. つまり, \(\Delta’\) によって, \[x_{i-1}=x’_{j-1} <x’_{j}<x’_{j+1}<\cdots < x’_{j+\ell} =x_i\] と分割されているとする. このとき, \([x_{i-1},x_i]\) における \(f(x)\) の上限を \(M_i\) , \([x’_{k-1},x’_k]\) における上限を \(M’_k\) とすると, \[M’_k \leq M_i \quad (k=j, j+1, \ldots , j+\ell)\] より, \[\begin{aligned} \sum_{k=j}^{j+\ell} M’_k (x’_k-x’_{k-1}) \leq M_i \sum_{k=j}^{j+\ell} (x’_{k}-x’_{k-1}) = M_i(x_i-x_{i-1}). \end{aligned}\] したがって, \[\begin{aligned} U(f;\Delta’) \leq U(f;\Delta) \end{aligned}\] となる. \(L(f;\Delta) \leq L(f;\Delta’)\) も同様に示すことができるため, \[L(f;\Delta) \leq L(f;\Delta’) \leq U(f;\Delta’) \leq U(f;\Delta)\] が成り立つ.
次に, \(M_i -M’_k \leq M-m\) かつ \(x’_k-x’_{k-1}\leq |\Delta|\) であり, \(M_i=M’_k\) となる番号 \(k=j, j+1, \ldots, j+\ell\) が少なくとも1つ存在するから, \[\begin{aligned} &M_i(x_i-x_{i-1}) -\sum_{k=j}^{j+\ell} M’_k (x’_k-x’_{k-1}) \\
&=\sum_{k=j}^{j+\ell} (M_i – M’_k) (x’_k-x’_{k-1})\\
&\leq \ell \cdot (M-m) |\Delta| \end{aligned}\] となる. したがって, \[U(f;\Delta)-U(f;\Delta’) \leq p\cdot (M-m)\cdot |\Delta|\] が成り立つ. \(L(f;\Delta’)- L(f;\Delta) \leq p\cdot |\Delta| \cdot (M-m)\) も同様に示すことができる.（証明終了）

証明.
\(\varepsilon\) を正の数とする. 上積分 \(\overline{\int_{a}^b}f(x)dx\) は下限 \(\sup_{\Delta} U(f;\Delta)\) なので, \[U(f;\widetilde{\Delta})- \overline{\int_{a}^b}f(x)dx <\frac{\varepsilon}{2}\]となる分割 \(\widetilde{\Delta}\) が存在する. このとき, 分割 \(\widetilde{\Delta}\) の分点の個数を \(p\) とする.
任意の分割 \(\Delta’\) に対して, \(\widetilde{\Delta}\) と \(\Delta’\) を合併してできる分割を \(\Delta”\) とすると, \(\Delta”\) の分点の数は \(\widetilde{\Delta}\) よりも高々 \(p\) 個多い. よって, 定理（細分に対する性質）より, \[\begin{aligned} &U(f;\Delta’)-\overline{\int_{a}^b}f(x)dx \\
&=\Big( U(f;\Delta’) -U(f;\Delta”) \Big) + \Big(U(f;\Delta”)-\overline{\int_{a}^b}f(x)dx\Big)\\
&< p \cdot |M-m|\cdot |\Delta’|+\frac{\varepsilon}{2}. \end{aligned}\] したがって, \(\displaystyle\delta=\frac{1}{p\cdot (M-m)} \cdot \frac{\varepsilon}{2}\) とおけば, \(|\Delta’|<\delta\) となる任意の分割 \(\Delta’\) に対して, \[\begin{aligned} U(f;\Delta’)-\overline{\int_{a}^b}f(x)dx< \varepsilon \end{aligned}\] となる. \(\displaystyle\lim_{|\Delta| \rightarrow 0} L(f;\Delta) = \underline{\int_{a}^b}f(x)dx\) も同様に示すことができる.（証明終了）

証明.
（十分性：ダルブー可積分 \(\Rightarrow\) リーマン積分可能）
\(\displaystyle I=\overline{\int_{a}^b}f(x)dx=\underline{\int_{a}^b}f(x)dx\) とおく. また, \(\varepsilon\) を正の数とする. ダルブーの定理より, 正の数 \(\delta\) を十分小さくとれば, \(|\Delta|<\delta\) となる任意の分割 \(\Delta:a=x_{0}<\cdots<x_n=b\) に対して, \[\begin{aligned} U(f;\Delta)-I < \varepsilon, \\ I-L(f;\Delta)<\varepsilon \end{aligned}\] となる. このとき, 過剰和と不足和, リーマン和の定義から, 任意の \(\xi=(\xi_1,\ldots, \xi_n), \, \xi_i \in [x_{i-1},x_i]\) に対して \[\begin{aligned} L(f;\Delta) \leq &S(f;\Delta,\xi) \leq U(f;\Delta)\\ I-\varepsilon \leq &S(f;\Delta,\xi) \leq I+\varepsilon \end{aligned}\] となる. 以上より, 十分性が示された.

（必要性：ダルブー可積分 \(\Leftarrow\) リーマン積分可能）
リーマン積分の値を \(\displaystyle I=\int_a^b f(x)dx\) とおく. また, \(\varepsilon\) を正の数とする. このとき, 正の数 \(\delta\) が存在して, \(|\Delta| < \delta\) となる任意の分割 \(\Delta\) と \(\xi\) に対して, \[\left| S(f;\Delta,\xi) -I \right| < \varepsilon\] を満たす.
分割 \(\Delta: a=x_0<x_1< \cdots <x_n=b\) を \(|\Delta|<\delta\) となるようにとり, \(\xi=(\xi_1,\ldots, \xi_n)\) （ \(\xi_i \in [x_{i-1},x_i]\) ）を \[M_i -\frac{\varepsilon}{b-a} \leq f(\xi_i)\leq M_i\] となるようにとると, 上積分は \[\begin{aligned} &\overline{\int_a^b} f(x) dx \leq U(f;\Delta) = \sum_{i=1}^n M_i (x_i-x_{i-1})\\ &\leq \sum_{i=1}^n \left( f(\xi_i) +\frac{\varepsilon}{b-a} \right) (x_i-x_{i-1})\\ &=S(f;\Delta,\xi)+\varepsilon\\ &<I+2\varepsilon \end{aligned}\] と評価できる. 同様に, \(\eta_i\) を \[m_i \leq f(\eta_i)\leq m_i+\frac{\varepsilon}{b-a}\] となるようにとれば, 下積分は \[I-2\varepsilon<\underline{\int_a^b} f(x) dx\] と評価できる. したがって, \[I-2\varepsilon<\underline{\int_a^b} f(x) dx \leq \overline{\int_a^b} f(x) dx<I+2\varepsilon.\] \(\varepsilon\) は任意に小さくとれるから, これは\[I=\underline{\int_a^b} f(x) dx=\overline{\int_a^b} f(x) dx\] であることを意味する. 以上より必要性が示された.（証明終了）

証明.
\(\varepsilon\) を正の数とする. 連続関数は一様連続だから, 正の数 \(\delta\) を十分小さくとれば, \(|x-y|<\delta\) をみたす任意の \(x,y\) に対して, \(\displaystyle|f(x)-f(y)| <\frac{\varepsilon}{b-a}\) となる. このとき, \(|\Delta|<\delta\) となるように分割 \(\Delta:a=x_0<x_1<\cdots < x_n\) をとる. 有界閉区間上の連続関数には最大値と最小値が存在するから, 各小区間 \([x_i,x_{i-1}]\) における最大値を \(f(\xi_i)\) , 最小値を \(f(\eta_i)\) とおくことができる. このとき, \(|\xi_i -\eta_i|<\delta\) だから, 過剰和と不足和の差は \[\begin{aligned} &U(f;\Delta) – L(f;\Delta) \\
&=\sum_{i=1}^n \{f(\xi_i) -f(\eta_i)\}(x_i -x_{i-1})\\
&\leq \sum_{i=1}^n \frac{\varepsilon}{b-a}(x_i -x_{i-1})\\
&\leq \frac{\varepsilon}{b-a} \cdot (b-a)=\varepsilon \end{aligned}\] となる. したがって, 定理が成り立つ.（証明終了）

証明.
\(f(x)\) が単調増加である場合を証明する. \(\varepsilon\) を正の数とする. \(\frac{1}{n}(b-a)\{ f(b)-f(a)\} <\varepsilon\) となるように整数 \(n\) を十分大きくとり, 区間 \([a,b]\) を\[x_i=a+\frac{b-a}{n}\cdot i\]で \(n\) 等分する. \(f(x)\) は単調増加だから, 区間 \([x_{i-1}, x_i]\) における最大値は \(f(x_i)\) , 最小値は \(f(x_{i-1})\) である. よって, 過剰和と不足和の差は \begin{align}
&U(f;\Delta) – L(f;\Delta) \\
&= \sum_{i=1}^n f(x_{i}) \frac{b-a}{n} -\sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \frac{b-a}{n} \\
&=(f(b)-f(a)) \frac{b-a}{n}<\varepsilon\end{align}したがって単調増加関数はリーマン積分可能である. 同様に単調減少関数もリーマン積分可能である.（証明終了）

証明.
簡単のため, 1点 \(x=c\) （ \(a<c<b\) ）だけで不連続であり, 他の点では連続な場合を示す.
\(\varepsilon\) を正の数とする. \[k< \min \Big\{ \frac{\varepsilon}{4(M-m)},b-c,c-a\Big\}\] となるように正の数 \(k\) をとり （ \(M, m\) はそれぞれ, \([a,b]\) にける \(f(x)\) の上限, 下限とする）, \([a,b]\) を3つの区間 \[\begin{aligned} &I_1= [a, c- k],\\ &I_2=[c-k,c+ k],\\ &I_3=[c+k,b] \end{aligned}\] に分割する. 区間 \(I_1, I_3\) において \(f(x)\) は連続だから, この区間における過剰和と不足和の差がそれぞれ \(\frac{\varepsilon}{4}\) 未満となるように, \(I_1, I_3\) をさらに分割することができる. また, 区間 \(I_2\) における過剰和と不足和の差は \[\left\{ c+ k – \left(c-k \right) \right\}(M-n) =\frac{\varepsilon}{2}\] 未満である. したがって, \([a,b]\) 全体で過剰和と不足和の差が \(\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon\) 未満となるように分割をとることができる. 以上より, \(f(x)\) はリーマン積分可能である.
不連続点が複数存在する場合でも, 高々有限個であれば, 各不連続点において同様に議論すれば定理が成り立つ.（証明終了）