対数の大小比較　基礎から発展まで

問題一覧. この記事では下記の問題を扱います.

次の値の大小を比較せよ.
問1．\(\displaystyle \log_3 2,\quad 1,\quad \frac{1}{2}\log_3 5\)
問2．\(\displaystyle-1+\log_{\frac{1}{2}} 3,\quad \log_{\frac{1}{2}} 5,\quad 2\log_{\frac{1}{2}} 3\)
問3．\(\displaystyle\log_4 3,\quad \log_2 \sqrt{2}, \quad 6\log_8 \sqrt{3}\)
問4．\(\displaystyle\log_5 2, \quad \frac{4}{9}\)
問5．\(1<a<b<a^2\)のとき, \(\displaystyle\log_a b,\quad \log_b a, \quad \log_a ab, \quad \log_{b}\frac{b}{a}\)
問6．\(\displaystyle\log_2 3, \quad\sqrt{2}, \quad (\log_2 3)^2, \quad \frac{9}{5}\)
問7．\(\displaystyle\log_2 3, \quad \log_3 5\)
問8．\(\displaystyle2^{\log_3 5}, \quad 2\log_3 5\)

基本公式と基本問題（問1, 2, 3）

入試でもよく見かける対数の大小比較に関する問題をまとめていきます。 まずは基本となる公式から押さえましょう。

\(a>1\)のときは\(x,y\)の大小関係とそれぞれの対数の大小関係が保たれますが, \(0<a<1\)のときのときは大小関係が逆になることに注意です。

考え方. まず公式を使えるようにするために, \( \dfrac{1}{2} \log_3 5\)の \(\log\) 前についている値は \(\log\)の中に入れます. また比較のために\(1\)も無理やり \(\log_3\)を用いて表しましょう. 全てを \(\log_3(\cdots)\)の形に表すことができれば, 後は上の公式を用いて, 真数部分を比較するだけです.

解答. \begin{align*} &\frac{1}{2}\log_3 5=\log_3 5^{\frac{1}{2}}=\log_3 \sqrt{5},\\ &1=\log_3 3 \end{align*} である. 従って\(2< \sqrt{5}< 3\)より $$\log_3 2< \log_3 \sqrt{5}< \log_3 3,$$ $$\log_3 2< \frac{1}{2}\log_3 5< 1$$ となる.

考え方. 上の問題と同様に, まずは全ての値を\(\log_{\frac{1}{2}}( \cdots)\)の形に直します. 対数の底が\(\frac{1}{2}\)で\(1\)より小さい値なので, 真数部分との大小関係が逆になることに注意してください.

解答. \begin{align*} &-1+\log_{\frac{1}{2}} 3=\log_{\frac{1}{2}}2 +\log_{\frac{1}{2}} 3=\log_{\frac{1}{2}}6, \\ &2\log_{\frac{1}{2}} 3=\log_{\frac{1}{2}} 3^2=\log_{\frac{1}{2}} 9 \end{align*} である. 従って\(5<6<9\)であるから, $$\log_{\frac{1}{2}}5>\log_{\frac{1}{2}}6>\log_{\frac{1}{2}}9$$ $$\log_{\frac{1}{2}}5>-1+\log_{\frac{1}{2}} 3> 2\log_{\frac{1}{2}} 39$$ となる.

考え方. 対数の大小関係の公式は, 見れば当たり前ですが底がそろっていないと使えません. 指数法則や対数の他の公式でもそうなっていることが多いです. なので指数対数の問題では, 底が揃っていない場合には, 「底をそろえる」のが基本的な考え方になります. 対数の場合には底の変換公式を用いて自由に底を変えることができるので, これを使いましょう. また底はできるだけ素数に統一すると, 比較しやすい形になることが多いです.

解答. \begin{align*} &\log_4 3=\frac{\log_2 3}{\log_2 4}=\frac{1}{2} \log_2 3=\log_2 \sqrt{3},\\ &6\log_8 \sqrt{3}=6 \cdot \frac{\log_2 \sqrt{3}}{\log_2 8}=2\log_2 \sqrt{3}=\log_2 3 \end{align*} であるから, \(\sqrt{2}<\sqrt{3}<3\)より $$\log_2 \sqrt{2}< \log_2 \sqrt{3}< \log_2 3,$$ $$\log_2 \sqrt{2}< \log_4 3 < 6\log_8 \sqrt{3}$$ となる.

有理数との比較問題（問4）

次のような対数と有理数との比較について扱ってみましょう.

考え方. まずは有理数を\(\log_5 (\cdots)\)の形に直すと\(\dfrac{4}{9}=\log_5 5^\frac{4}{9}\)となるので, 真数部分の\(2\)と\(5^\frac{4}{9}\)を比較すればよいということになります. これらは, $$a<b \quad \Longleftrightarrow \quad a^n < b^n \quad (a>0, b>0)$$ という事実を用いて, 両方の数を何乗かして整数乗にすれば直接計算で比較することができます.

解答. $$\dfrac{4}{9}=\log_5 5^\frac{4}{9}$$ より\(\log_5 2\)と\(\frac{4}{9}\)の大小関係は \(2\)と\(5^{\frac{4}{9}}\)の大小関係に一致する. ここで, \begin{align*} &2^9=512,\\ &\left( 5^{\frac{4}{9}} \right)^9=5^4=625 \end{align*} であるから, \(2<5^{\frac{4}{9}}\)となる. 以上より $$\log_5 2< \frac{4}{9}$$

発展問題１（問5）

考え方. 底を\(a\)に揃えれば全ての値が \(\log_a b\)だけを用いて表すことができるので, \(\log_a b=x\)とおけば計算式もスッキリします. さらに条件式をフルに使うために\(1<a<b<a^2\)において, \(a\)を底とする対数をとれば \(1<x<2\)が得られます. これを用いて各値を比較していくことができます.

解答. \(x=\log_a b\)とおくと, ４つの数は \begin{align*} &\log_a b=x\\ &\log_b a=\frac{1}{\log_a b}=\frac{1}{x}, \\ &\log_a ab =1+\log_a b=1+x,\\ &\log_{b}\frac{b}{a}=1-\log_b a=1-\frac{1}{\log_a b}=1-\frac{1}{x} \end{align*} と表せる. まず\(x<1+x\)は明らか. 条件式 \(1<a<b<a^2\) から $$1<x<2\quad \cdots $$となる. 従って \(x>\frac{1}{x}\). 次に\(1<x<2\)より $$1>\frac{1}{x}>\frac{1}{2}$$ $$0<1-\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$$ 従って, $$1-\frac{1}{x}<\frac{1}{2}<\frac{1}{x}$$ 以上より, $$1-\frac{1}{x}<\frac{1}{x}<x<1+x, $$ $$\log_{b}\frac{b}{a}<\log_b a<\log_a b<\log_a ab $$

対数のおよその値を知る方法

有理数との比較問題で行った事と似たような考え方を用いれば, 対数のおよその値を知ることができます. 例えば常用対数\(\log_{10}2\)のおよその値を調べてみましょう.

例えば, $$2^{10}=1024, \quad 10^3=1000$$ となるので, $$2^{10}>10^3 \quad \Leftrightarrow \quad 2>10^{\frac{3}{10}} \quad \Leftrightarrow \quad \log_{10}2 >\frac{3}{10}=0.3$$ となり, この不等式が割と良い近似を与えているということが分かります.

逆側の不等式が欲しければ他にも $$2^3=8<10$$ ですので, $$2<10^{\frac{1}{3}} \quad \Leftrightarrow \quad \log_{10}2 <\frac{1}{3} $$ と評価することもできます. 以上より $$ 0.3<\log_{10}2<0.333\cdots $$ と手計算でも簡単におよその値を知ることができます. 実際には\(\log_{10}2= 0.3010\cdots\)と続く少数で, この値は覚える必要はありませんが, 常用対数を用いた問題で非常によく用いられる値です.

発展問題2 およその値を調べて解く（問6, 7）

考え方. 実はこの問題, 底をそろえてなんとなく眺めていれば解けるという問題ではありません. 対数のおよその値の範囲を調べて比較する必要があります. およその値の調べ方は前節の内容を参考にしてください. 本問では\(\log_2 3\)のおよその値を調べるために, \(2^p \fallingdotseq 3^q\)となる整数\(p,q\)を利用します. 例えば\(2^3=8, \quad 3^2=9\)ですから, これを用いて不等式を評価していきましょう.

解答. $$2^3=8, \quad 3^2=9$$ より, \(2^3 < 3^2 \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{3}{2}}< 3\). 従って $$\sqrt{2}<\frac{3}{2}<\log_2 3$$. また$$\left(\log_2 3\right)^2>\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}>\frac{9}{5}$$ 次に\(\frac{9}{5}\)と\(\log_2 3\)を比較する. \(\frac{9}{5}=\log_2 2^{\frac{9}{5}}\)より, \(\frac{9}{5}\)と\(\log_2 3\)の大小関係は, \(2^{\frac{9}{5}}\)と\(3\)の大小関係に一致する. \begin{align*} &\left(2^{\frac{9}{5}}\right)^5=2^9=512\\ &3^5=243 \end{align*} より, \(2^{\frac{9}{5}} > 3\)となるので \(\frac{9}{5}>\log_2 3\). 以上より $$\sqrt{2}<\log_2 3 <\frac{9}{5}< (\log_2 3 )^2$$

補足. 解答では\(\frac{3}{2}<\log_2 3\) のみが必要なので, これ以上は評価を進めませんでしたが, \(\log_2 3\)の上からの評価式が欲しければ, 例えば$$2^8=256, \quad 3^5=243$$を利用して
\begin{align*}
&2^8>3^5\\
&\Leftrightarrow \quad 2^{\frac{8}{5}}>3\\
&\Leftrightarrow \quad \frac{8}{5}>\log_2 3
\end{align*}
などと評価することができます. 結局
$$\frac{3}{2}<\log_2 3<\frac{8}{5}$$
が得られ, 約1.5~1.6の間の値となることが分かります. 問題を解くうえで試行錯誤する際は, この上からと下からの両方の評価式を作って考えることもあります.

考え方. この問題も底を変換したところでどうしようもない問題です. しかし対数の近似値を求める方法を知っていれば, ２つの対数のおよその値の範囲を調べてすぐに解けると思います. \(\log_2 3\)は先の問題と同様に近似値を調べたら,  あとは\(\log_3 5\)の評価です.

解答. まず\(2^3<3^2\)より\(\dfrac{3}{2}<\log_2 3\)である.
一方で, $$3^3=27>25=5^2$$より$$3^{\frac{3}{2}}>5 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{3}{2}>\log_3 5. $$従って$$\log_3 5<\frac{3}{2}<\log_2 3$$
となる.

発展問題3 関数のグラフを利用する（問8）

考え方. このまま2つの値を直接比較するのは困難です. 誘導やヒントなしで出題されると難しいですが, \(\log_3 5\)という同じ値が２つの数に現れていることに着目して, \(y=2^x\)と\(y=2x\)のグラフの位置関係を利用して解きます. \(2x=2^x\)のような方程式を一般論で解くことはできませんが, この２つのグラフの交点は, 直接値を代入することで, \((1,2)\)と\((2,4)\)であることが分かります.

解答. 関数\(y=2^x\)と\(y=2x\)のグラフは, 2点\((1,2)\)と\((2,4)\)で交わり, 以下の図のようになる.

２つのグラフの位置関係から, \(1<x<2\)のとき, \(2^x<2x\)となる. \(1<\log_3 5<2\)であるから, $$2^{\log_3 5}<2\log_3 5$$