微分可能でも導関数が連続でない関数

微分可能でも導関数が連続でない例を紹介します.
例えば次の関数が有名です.

実際, \(x\neq 0\) のときは微分可能で導関数は\[
f'(x)=2x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x^2} \quad (x \neq 0).
\]\(x=0\) のときは微分の定義に基づいて計算すると\begin{align}
&f'(0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{h^2 \sin \frac{1}{h} }{h}\\
&=\lim_{h\to 0}h \sin \frac{1}{h} \\
&=0.
\end{align}したがって \(f(x)\) は実数全体で微分可能で, まとめると\[
f'(x)=\begin{cases}
2x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x^2} & (x\neq 0)\\
0 & (x =0)
\end{cases}\]となります.

しかし, 極限値 \(\displaystyle \lim_{x\to 0} f'(x)\) は存在しない（振動する）ので, 導関数 \(f'(x)\) は連続ではありません.